和算中的行列式(5):拉普拉斯展开法(Determinant

连结:和算中的行列式(4):降阶展开法

日本和算家对行列式展开的研究,在关孝和之后有了长足的进展。除了前文介绍过的井关知辰外,本文要介绍另一位和算家久留岛义太 (Kurushima Yoshihiro, ?-1757)及其提出的行列式展开法,相当于今日所称的「拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827, 法国) 展开法」。

久留岛义太属于天才型的和算家,他对数学的认识并非来自老师的教导,而是从数学书《新篇尘劫记》中自学而来;后来与当时的和算家,特别是关流的和算家进行学术上的交流,丰富其数学研究的主题,并开拓新的研究领域,对后世和算的发展有着深远的影响。因此,有人将他与关孝和、建部贤弘并称为三大和算家。据后人的记载,久留岛义太生性浪漫,虽然数学造诣很高,但没有形成自己的门派,也没有将着作出版,仅以稿本的形式在和算家间传抄,身后留下《久氏遗书》一部。

《久氏遗书》中的〈算学粹沙〉,讨论了三阶至六阶的行列式展开,提出了新的求法。

以四阶为例,他给出了相当于 和算中的行列式(5):拉普拉斯展开法(Determinant 的展开求法:

和算中的行列式(5):拉普拉斯展开法(Determinant

若我们将「东夏内去南春」等叙述用行列式符号 和算中的行列式(5):拉普拉斯展开法(Determinant 来表示,则久留岛义太相当于给出

和算中的行列式(5):拉普拉斯展开法(Determinant

,这其实就是今日所称的「拉普拉斯展开法」。

在「拉普拉斯展开法」中,每一项前面的运算符号,必须由其行序的置换数目来决定,

偶数的话就为「$$+$$」,奇数的话则为「$$-$$」。

例如 和算中的行列式(5):拉普拉斯展开法(Determinant,由左而右分别来自第 $$2$$、$$4$$、$$1$$、$$3$$ 行,

若每次只能置换两个,则要将 $$2413$$ 置换成 $$1234$$,

最少需要3次:$$2413\Rightarrow 1423\Rightarrow 1243\Rightarrow1234$$(方法不唯一),

故 和算中的行列式(5):拉普拉斯展开法(Determinant 前面的运算符号为「$$-$$」。

置换的次数,其实就相当于「逆序」的次数:

数字小的要在左侧,违反此原则的就称为「逆序」。

就以 $$2413$$ 来说,$$2$$ 在 $$1$$ 左边,故逆序数为 $$1$$;

$$4$$ 在 $$1$$ 和 $$3$$ 的左边,故逆序数为 $$2$$,所以,逆序数总共是 $$1 + 2 = 3$$。

再以 和算中的行列式(5):拉普拉斯展开法(Determinant 为例,由左而右分别来自第 $$2$$、$$3$$、$$1$$、$$4$$ 行,

其逆序数总共是 $$2$$,故该项前面的运算符号为「$$+$$」。

再以五阶行列式 $$\begin{vmatrix} 1&2&3&4&5\\6&7&8&9&10\\11&12&13&14&15\\16&17&18&19&20\\21&22&23&24&25\\ \end{vmatrix}$$ 为例,其展开式可写成

$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 6&7 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {13}&{14}&{15}\\ {18}&{19}&{20}\\ {23}&{24}&{25} \end{array}} \right| – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 6&8 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {12}&{14}&{15}\\ {17}&{19}&{20}\\ {22}&{24}&{25} \end{array}} \right|$$

$$+\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4\\ 6&9 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {12}&{13}&{15}\\ {17}&{18}&{20}\\ {22}&{23}&{25} \end{array}} \right| – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5\\ 6&{10} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {12}&{13}&{14}\\ {17}&{18}&{19}\\ {22}&{23}&{24} \end{array}} \right|$$

$$+\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 7&8 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{14}&{15}\\ {16}&{19}&{20}\\ {21}&{24}&{25} \end{array}} \right| – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4\\ 7&9 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{13}&{15}\\ {16}&{18}&{20}\\ {21}&{23}&{25} \end{array}} \right| $$

$$+ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ 7&{10} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{13}&{14}\\ {16}&{18}&{19}\\ {21}&{23}&{24} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4\\ 8&9 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{12}&{15}\\ {16}&{17}&{20}\\ {21}&{22}&{25} \end{array}} \right|$$

$$ – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&5\\ 8&{10} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{12}&{14}\\ {16}&{17}&{19}\\ {21}&{22}&{24} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ 9&{10} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{12}&{13}\\ {16}&{17}&{18}\\ {21}&{22}&{23} \end{array}} \right|$$

若读者还觉得意犹未尽的话,

久留岛义太书中的六阶例子 和算中的行列式(5):拉普拉斯展开法(Determinant ,

不妨试试用三阶行列式的乘积写出其展开式。


参考资料

徐泽林 (2012). 《和算中源:和算算法及其中算源流》,上海:上海交通大学出版社。杨浩菊 (2004). 《行列式理论历史研究》,西北大学博士论文。
上一篇: 下一篇: