和算中的行列式(3):关孝和的《解伏题之法》(下)(Dete

连结:和算中的行列式(2):关孝和的《解伏题之法》(上)

〈和算中的行列式(2):关孝和的《解伏题之法》(上)〉介绍了关孝和如何从解多元高次方程组中,发展出类似今日行列式的概念。然而,即便是今日,多元高次方程组求解仍是一件困难的工作。所以,关孝和能处理多元高次方程组,更显得他在数学上的造诣深厚。以下透过几个简单的实例,让读者更熟悉关孝和的方法,也指出这个方法也有无能为力的时候。

例1:解 $$\left\{ \begin{array}{l} {(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = 1\\ {(x – 2)^2} + {(y – 2)^2} = 5\\ {(x – 3)^2} + {(y – 3)^2} = 13 \end{array} \right.$$。

【关孝和的方法】:

方程组可整理成 $$\left\{ \begin{array}{l} ({y^2} – 2y + 1) – 2x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 4y + 3) – 4x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 6y + 5) – 6x + {x^2} = 0 \end{array} \right.$$,

利用係数所成行列式 $$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} – 2y + 1}&{ – 2}&1\\ {{y^2} – 4y + 3}&{ – 4}&1\\ {{y^2} – 6y + 5}&{ – 6}&1 \end{array}} \right| = 0$$,

但左式展开后各项均消去,得到 $$0=0$$ 的恆等式,而非 $$y$$ 的方程式,因此无从求 $$y$$ 之值。

【几何意义】:

三个方程式的代表的图形都是圆形,圆心分别是 $$(1,1)$$、$$(2,2)$$、$$(3,3)$$,

半径依序是 $$1$$、$$\sqrt 5$$、$$\sqrt{13}$$,图形如下:

和算中的行列式(3):关孝和的《解伏题之法》(下)(Dete

这三个圆均交于 $$(1,0)$$、$$(0,1)$$ 两点,因此 $$(x,y)=(1,0)$$、$$(0,1)$$ 是方程组的两组解。

例2:解 $$\left\{ \begin{array}{l} {(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = 1\\ {x^2} + {y^2} = 1\\ {(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} = 1 \end{array} \right.$$。

【关孝和的方法】:

方程组可整理成 $$\left\{ \begin{array}{l} ({y^2} – 2y + 1) – 2x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 1) + 0x + {x^2} = 0\\ ({y^2} + 2y + 1) + 2x + {x^2} = 0 \end{array} \right.$$,

利用係数所成行列式 $$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} – 2y + 1}&{ – 2}&1\\ {{y^2} – 1}&0&1\\ {{y^2} + 2y + 1}&2&1 \end{array}} \right| = 0$$,

得到 $$8 = 0 \to\leftarrow $$,故此题无解。

【几何意义】:

三个方程式的代表的图形都是圆形,圆心分别是 $$(1,1)$$、$$(0,0)$$、$$(-1,-1)$$,

半径都是1,三个圆并没有共同的交点,故方程组无解。图形如下:

和算中的行列式(3):关孝和的《解伏题之法》(下)(Dete

例3:解 $$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1\\ 4{x^2} + {y^2} – 4 = 0\\ {y^2} – 4x + 4 = 0 \end{array} \right.$$。

【关孝和的方法】:

方程组可整理成 $$\left\{ \begin{array}{l} ({y^2} – 1) + 0x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 4) + 0x + 4{x^2} = 0\\ ({y^2} + 4) – 4x + 0{x^2} = 0 \end{array} \right.$$,

利用係数所成行列式 $$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} – 1}&0&1\\ {{y^2} – 4}&0&4\\ {{y^2} + 4}&{ – 4}&0 \end{array}} \right| = 0 \Rightarrow 12{y^2} = 0\Rightarrow y = 0\Rightarrow x = 1$$。

【几何意义】:

三个方程式的代表的图形分别是圆形、椭圆与抛物线,只相交于 $$(1,0)$$,

故 $$(1,0)=(x,y)$$ 是方程组的唯一解。图形如下:

和算中的行列式(3):关孝和的《解伏题之法》(下)(Dete

例4:解 $$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1\\ 4{x^2} + {y^2} – 4 = 0\\ {y^2} – 4x + 8 = 0 \end{array} \right.$$。

【关孝和的方法】:

方程组可整理成 $$\left\{ \begin{array}{l} ({y^2} – 1) + 0x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 4) + 0x + 4{x^2} = 0\\ ({y^2} + 8) – 4x + 0{x^2} = 0 \end{array} \right.$$,

利用係数所成行列式 $$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} – 1}&0&1\\ {{y^2} – 4}&0&4\\ {{y^2} + 8}&{ – 4}&0 \end{array}} \right| = 0\Rightarrow 12{y^2} = 0\Rightarrow y = 0\Rightarrow x = 1\to \leftarrow $$

因为 $$x=1,y=0$$ 代入第三个方程式 $$y^2-4x+8=0$$ 不合。

【几何意义】:

三个方程式的代表的图形分别是圆形、椭圆与抛物线,但没有共同的交点,故方程组无解。

图形如下:

和算中的行列式(3):关孝和的《解伏题之法》(下)(Dete

由上述4个例子可看出,利用係数行列式等于 $$0$$ 不一定能求得的 $$y$$ 的方程式,

就算可以,解出的 $$y,x$$ 仍要代回原方程组检验,不一定都会符合。

那为什幺会有不合的情形出现呢?

我们可以换个方式来看关孝和的方法,就是将方程组整理成 和算中的行列式(3):关孝和的《解伏题之法》(下)(Dete 后,

若将 $$x^2$$ 看成变数 $$y’$$,那幺由三个二元一次方程组要有共同的解,得到係数行列式和算中的行列式(3):关孝和的《解伏题之法》(下)(Dete

说巧不巧,这恰好就是莱布尼兹发展出行列式概念的方式,请参见本网站〈行列式的滥觞:莱布尼兹 (1)、(2)〉。东、西方行列式的开创者,竟然可以在这里「合鸣」!

但问题来了,$$y’=x^2$$ 并不是与 $$x$$ 独立的变数,因此,利用 和算中的行列式(3):关孝和的《解伏题之法》(下)(Dete 求得的解,

仍必须代回原方程组检验是否有不合的情形出现。

简言之,多元高次方程组的题目,会随着条件的多寡(方程式的数目)而有不同的解,甚至解法还会相当繁杂。比如说,当未知数个数不只两个的时候,就要反覆消去未知数个数才行。

例如关孝和与两个学生建部贤明、建部贤弘所写的《大成算经》中,就有这幺一个相当于四元四次方程组 $$\left\{ \begin{array}{l} {x_1}^4 + {x_2}^3 + {x_3} + {x_4} = {A_{1}}\\ {x_1}^3 + {x_2}^2 + {x_3}^3 + {x_4}^4 = {A_{2}}\\ {x_1}^2 + {x_2} + {x_3}^4 + {x_4}^3 = {A_{3}}\\ {x_1} + {x_2}^4 + {x_3}^2 + {x_4}^2 = {A_{4}} \end{array} \right.$$ 的问题,转载于下,让有兴趣的读者挑战看看!

假如有甲乙丙丁平方各一。甲云:甲方三乘幂[注:四次方]、乙方再乘幂[注:三次方]、丙方、丁方相併共若干;乙云:甲方再乘幂、乙方幂[注:二次方]、丙方再乘幂、丁方三乘幂相併共若干;丙云:甲方幂、乙方、丙方三乘幂、丁方再乘幂相併共若干;丁云:甲方、乙方三乘幂、丙方幂、丁方幂相併共若干。问甲方?

连结:和算中的行列式(4):降阶展开法

参考资料:

林典蔚 (2012). 《关孝和《三部抄》之内容分析》,国立台湾师範大学硕士论文。徐泽林 (2012). 《和算中源:和算算法及其中算源流》,上海:上海交通大学出版社。徐泽林、周畅、夏青 (2013). 《建部贤弘的数学思想》,北京:科学出版社。梁宗巨、王青建、孙宏安 (1995). 《世界数学通史》,瀋阳:辽宁教育出版社。杨浩菊 (2004). 《行列式理论历史研究》,西北大学博士论文。
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