和算中的行列式(4):降阶展开法(Determinants

连结:和算中的行列式(3):关孝和的《解伏题之法》(下)

关孝和提出相当于今日的行列式求法后,吸引不少和算家相继投入研究,不仅改正了关孝和算法中的错误(当行列式是五阶以上时,所求得的值是错的),也提出了新的算法。本文要介绍的,就是相当于今日高中课堂上俗称的「降阶展开法」,也称为「范德蒙 (Vandermonde, 1735-1796, 法国) 展开法」。

在目前可见的文献中,最早写出这个算法的是井关知辰 (Izeki Tomotoki)。井关知辰在1690年所着的《算法发挥》上卷中,用「阳率」来称呼行列式,而「阴率」则是行列式展开后的结果。例如,「平阳率」、「立阳率」、「三阳率」分别代表二阶、三阶、四阶行列式,「平阴率」、「立阴率」、「三阴率」则代表对应的行列式展开式。井关知辰在书中最高列出了「四阳率」与「四阴率」,也就是五阶行列式及其展开式,并写下如何展开更高阶「阳率」的方法。 

和算中的行列式(4):降阶展开法(Determinants

上图就是井关知辰《算法发挥》中关于「立阳率」与「立阴率」的内容。

若将其改为横式,并用英文字母表示,就是:和算中的行列式(4):降阶展开法(Determinants

至于如何展开,请读者将目光移向上图左上方的三个 $$3\times 3$$ 方格,

是不是很像今日的降阶展开法?将其放大如下。

的确!这就是告诉读者如何从第一式求出「立阴率」,

用今日的符号来表示的话,就是 $$+ a \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&f\\ h&i \end{array}} \right| + ( – b) \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} d&f\\ g&i \end{array}} \right| + c \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} d&e\\ g&h \end{array}} \right|$$

和算中的行列式(4):降阶展开法(Determinants

日本京都大学将《算法发挥》全书以图片的方式放置在其图书馆的网页中(网址

和算中的行列式(4):降阶展开法(Determinants

虽然关孝和在1683年提出的方法是错误的,但很快地,七年后在井关知辰的书中就出现了正确的方法。至于井关知辰与关流是否有何关係?这细节至今仍未可知。事实上,我们连井关知辰的生卒年也不知道,但从其研究行列式的脉络在于解高次方程式,可以推测他与关流之间或许有学术往来,或是辗转得知关孝和的研究成果后进而研究它。此外,在同期的另一位和算家田中由真的《双式定格术》中,也可以看到与井关知辰相同的方法。至于关流,则在《大成算经》(关孝和、建部贤明、建部贤弘于1683-1711年间完成)改正了关孝和的方法,採用的也是和井关知辰相同的方法。由此可见,行列式的展开在当时已成为一个研究的主题,吸引了和算家相继投入研究,因此,我们也就不意外在降阶展开法之外,和算家还提出别种展开求法,而这就留待下一篇文章再作介绍了。

连结:和算中的行列式(5):拉普拉斯展开法

参考资料:

徐泽林 (2012). 《和算中源:和算算法及其中算源流》,上海:上海交通大学出版社。杨浩菊 (2004). 《行列式理论历史研究》,西北大学博士论文。
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